VÍDEO AULA 1
Introdução: O que é o Cálculo?
O que é Cálculo? Como aprender Cálculo no contexto virtual em comparação ao presencial? Um pouquinho da história do cálculo e de suas aplicações. Explicação da proposta das videoaulas, atividades individuais e cooperativas a distância e presenciais com os monitores – sistema de aprendizado em comunidade.
Prof. Samuel Rocha de Oliveira
O que é Cálculo?
Calculo diferencial e Integral de funções (reais) de uma variável real.
Conceitos Chave:
Variações (taxas, velocidades...)
Diferenças (mudanças, comparações)
Somas (Acréscimos, adições...)
Infinitésimos.
Infinitos.
Por que aprender cálculo?
Em todos os cursos de exatas e engenharias.
Compreender a natureza e fazer inovações tecnológicas.
Como vamos aprender cálculo?
Tempo, dedicação e concentração. Exercícios!
Um modo abstrato e preciso de pensar ou raciocinar.
História & Geografia do Cálculo
Base em séculos de ciências e matemática.
Demandas e problemas práticos e situações filosóficas.
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VÍDEO AULA 2
Funções 1: Noções básicas
Conjuntos Numéricos, Intervalos e Desigualdades. Definição de Função, Domínio e Imagem. Gráficos no Sistema Cartesiano. Exemplos: Funções com diferentes domínios, Sequências numéricas como funções. Funções Linear, Quadrática, Polinomiais. Funções e Fórmulas: diferentes representações de uma mesma função.
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O que é Função?
É um trio composto por um conjunto de saída (domínio x), um conjunto de chegada (contra-domínio y) e um tipo de relação entre esses conjuntos.
Cada (e todo) x em X tem um único correspondente y em Y.
Conjuntos numéricos
Em cálculo I, X e Y serão subconjuntos dos números reais: Podem ser os naturais, algum intervalo na reta real etc.
Representações de uma função
Fórmula (sentença matemática formal).
Por exemplo: Uma partícula em queda livre, sem resistência tem a sua altura h como uma função do tempo t.
H: T à Y
T |-> y = h(t) = 3- 5t²
T >= 0
Representações de uma função
Gráfico (pontos no plano Cartesiano)
Por exemplo: Uma partícula em queda livre, sem resistência tem a sua altura h como uma função do tempo t.
Os pares ordenados: (t,3 – 5t²), t>=0
O problema do vazamento
O volume depende da altura.
A altura depende do tempo.
O alcance depende da altura.
O tempo pode ser representado por uma variável real.
Assim como o volume e a altura.
Considere o tempo depois de zerado o cronometro.
Exemplos e contra exemplos
Uma elipse completa não é o gráfico de uma função.
Um pedaço (arco) apropriado da elipse pode ser uma função.
Tenha claro quais são os conjuntos:
Domínio, Contra-Domínio e Imagem de uma função.
Sequência como funções
Domínio dos naturais (contador).
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VÍDEO AULA 3
. Funções 2: Operações com funções
Operações Aritméticas Elementares, Funções Racionais. Composição de Funções (Funções Compostas). Funções Inversas.
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Operações aritméticas
Cuidado com os conjuntos Domínios:
Soma, Subtração, Multiplicação e Divisão.
Interseção dos conjuntos Domínios.
A função composta por operações pode ter mais restrições do que as orginais separadas.
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VÍDEO AULA 4
Funções 3: Construção e definição de novas funções
Função Potência. Valor Absoluto. Funções Definidas por Partes. Funções Trigonométricas. Funções Trigonométricas Hiperbólicas.
Prof. Samuel Rocha de Oliveira
Classificação de funções
- Injetoras, sobrejetora, bijetoras
- Crescente ou decrescente
- Contínuas ou descontínuas (por partes) – com saltos finitos ou não
- Limitadas ou não limitadas
- Diferenciável ou não
- Integrável ou não
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SEMANA 2
VÍDEO AULA 5
Definição de limite de uma função em um ponto
5.1 Limites de Funções: conceito (intuitivo)
5.2 Definição Formal (épsilon-delta)
5.3 Propriedades e Exemplos Simples
5.4 Limites Laterais e existência do limite. Exemplos
Prof. Adolfo Maia Jr.
não
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VÍDEO AULA 6
Cálculo de limites de funções
6.1 Formas Indeterminadas
6.1.1 Definição de Limites Infinitos e de Limites no Infinito
6.1.2 Assíntotas Verticais e Horizontais
6.2 Limites de Funções Racionais
6.2.1 Cálculo de Limites de Funções Racionais e Formas Indeterminadas
6.2.2 Assíntotas Oblíquas. Exemplos com gráficos
Prof. Adolfo Maia Jr.
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VÍDEO AULA 7
Limite 3: Outras técnicas de cálculo de limites
7.1 Teorema do Sanduíche
7.2 Limites Fundamentais
7.3 Mudança de Variável
Prof. Adolfo Maia Jr.
Quais funções são contínuas e em quais pontos?
- Todas as funções polinomiais em R
- Todas as funções trigonométricas e suas inversas em seu domínio de definição
- Todas as funções potências em R
- Todos os logaritmos em qualquer base em (0, infinito)
- Outras: Módulo, raízes e-nesimas no seu domínio, etc
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VÍDEO AULA 8
Limite 4: Limites de sequências
8.1 Conceito e exemplos intuitivos. Definição de limite de uma sequência
8.2 Sequências Convergentes e Divergentes. Exemplos. Definição de número Neperiano “e” como limite de uma sequência
8.3 Critério da Comparação para Convergência (Teorema do Sanduíche)
8.4 Equivalência de limite por epsilon-delta e por sequências (importante para dar contraexemplos da não existência de limite)
Prof. Adolfo Maia Jr.
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SEMANA 3
VÍDEO AULA 9
Limite 5: Somas e Séries Numéricas
9.1 Limites de Séries Numéricas.
9.2 Fórmulas de Somas Finitas. Exemplos importantes para cálculo de limites de sequências.
9.3 Séries Numéricas. Convergência como limite das Somas Parciais Finitas. Exemplos.
Prof. Adolfo Maia Jr.
Definição de Série
Uma série é uma soma infinita de números reais.
- índice n da soma normalmente começa em 1 ou 0, mas pode começar em qualquer outro número inteiro.
- A pergunta fundamental aqui é se esta soma (série) REPRESENTA (ou DEFINE) um número real. Quando isto acontece dizemos que a série CONVERGE, caso contrário, dizemos que ela DIVERGE.
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VÍDEO AULA 10
Continuidade 1: Conceito e Definição
10.1 Conceito: o efeito de “pequenas perturbações”.
10.2 Definição formal. Definição por sequências.
10.3 Propriedades, exemplos e contraexemplos (funções descontínuas).
10.4 Continuidade à direita e à esquerda.
10.5 Limites de Funções Contínuas. Teorema e contraexemplos.
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Propriedades e Teoremas
- Soma de funções contínuas é contínua
- Para demonstrar essa afirmação, no caso de funções reais, basta usar a desigualdade triangular.
- Produto, divisão e composição de funções contínuas produzem novas funções contínuas.
- Todo cuidado com o domínio da função resultante.
- É fácil mostrar, que funções polinomiais são contínuas com o uso dos teoremas acima
- Não é fácil mostrar que as funções trigonométricas e exponenciais são contínuas.
- Graficos de funções comuns mostram sua continuidade visualmente, mas cuidado.
- Funções contínuas não dão saltos.
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VÍDEO AULA 11
Continuidade 2: Teoremas Básicos
11.1 Teorema do Valor Intermediário.
11.2 Teorema do Ponto Fixo.
11.3 Teorema do Máximo para funções contínuas.
11.4 Contraexemplos.
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Teorema do valor intermediário
No experimento do vazamento lateral do líquido.
O recipiente estava cheio e ficou vazio, entre o início e o final, havia uma quantidade intermediária de líquido no recipiente.
Porque o volume de líquido nesse contexto é uma função contínua do tempo.
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VÍDEO AULA 12
. Derivada 1: Definição de Derivada e Exemplos Simples
12.1 Taxas de Variação Média e Instantânea.
12.2 Inclinação de uma reta tangente.
12.3 Definição Formal. Notações.
12.4 Exemplos simples do cálculo formal. Derivadas sucessivas (ou derivada n-ésima).
12.5 Contraexemplos: funções que não são deriváveis. As classes das Funções Deriváveis e das Funções Contínuas
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Funções contínuas e diferenciáveis
Toda função diferencial é contínua, mas a inversa não é verdadeira.
Isto é, existem funções contínuas que não são diferenciais, no ponto ou em um intervalo.
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SEMANA 4
VÍDEO AULA 13
Derivada 2: Exemplos da Interpretação da Derivada como Taxa de Variação
13.1 Crescimento de uma função e o sinal da derivada. Gráfico Aproximado de uma função usando derivadas
13.2 Exemplos da Física: Velocidade Média e Instantânea (Cinemática), Vazão de fluidos em volumes com diversas geometrias, Taxas Relacionadas
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VÍDEO AULA 14
Derivada 3: Regras de Derivação
14.1 Regras de Derivação com operações elementares
14.2 Derivadas de ordem superior. Interpretação Geométrica da segunda derivada
14.3 Derivada de Funções Logarítmicas, Exponenciais, Trigonométricas
14.4 Formas Indeterminadas. Regras de L’Hopital.
Prof. Samuel Rocha de Oliveira
Concavidade – segunda derivada
- uma função linear tem derivada constante
- a função linear varia de maneira constante
- o gráfico de uma função linear é uma reta no plano cartesiano
- a segunda derivada é a derivada de uma função.
Ela mede localmente a variação da variação de uma função
Ela mede o quanto e para que lado a curva se desvia da tangente
- Concavidade local da curva.
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